공분산과 상관관계 정보

공분산의 경우에는 X축과 Y축이 각각 서로 다른 변수를 나타내고 있으므로, 관측치는 두 변수의 평균을 기준으로 구분되는 사분면상의 어느 곳에든지 위치할 수 있다. 다라서 편라를 제곱함으로써 항상 양의 값만을 갖는 분산과는 달리 공분산은 부호에 제한이 없다. 즉, 모든 양의 값이나 음의 값 중에 어떻나 값도 가질 수 있다. 두 변수로부터의편차가 모두 양수인 1사분면이나 반대로 편차가 모두 음수인 3사분면에 있는 관측치가 많으면 많을수록 공분산은 증가하여 높은 양의 값을 갖게 된다. 그러나 X축상에 음의 편차와 Y축상의 양의 편차의 곱으로 나타나는 2사분면이나 반대로 X축상에 양의 편차와 Y축상의 음의 편차의 곱으로 나타나는 4사분면상에 있는 관측치들이 많으면 많을수록 공분산은 점차 줄어들어 급기야는 음의 값을 갖게 된다. 또한 관측치들이 각 사분면을 45도 각도록 관통하는 직선에 가까이 그리고  평균에서 먼 곳에 많을수록 공분산의 크기가 증가하게 된다. 즉, 대부분의 관측치가 1과 3사분면을 45도 각도로 관통하는 직선 가까이에, 그리고 평균에서 먼 곳에 있을수록 공분산은 증가하고, 반대로 2와 4분면을 45도로 관통하는 직선 가까이 그리고 평균에서 먼 곳에 있을수록 공분산이 감소해서 낮은 음의 값을 갖게 된다. 그러나 관측치들이 4개의 사분면에 골고루 분포할 경우에는 양과 음의 값들이 서로 상쇄됨으로써 공분산은 거의 0에 가까워진다. 따라서 공분산이 양수로서 매우 크거나 음수로서 매우 작은 경우 두 변수는 선형의 관계가 있음을 알 수 있다. 공분산이 양수로서 매우 클 경우에는 두 변수는 양의 선형관계가 있고, 반대로 음수로서 매우 작을 경우 두 변수는 음의 선형관계가 있다고 판단할 수 있다. 즉, 공분산이 클수록 변수 간의 양의 선형관계가 커서, 한 변수가 증가할 대 다른 변수도 같이 증가하고, 반대로 공분산이 작을수록 변수 간의 음의 선형관계가 성립되어 한 변수가 증가하면 다른 변수는 오히려 감소한다는 것을 의미한다. 그러나 공분산은 변수의 측정단위에 따라 그 크기가 변하므로, 공분산 자체 값만으로 변수 간의 선형관계를 파악하는 데는 문제가 있다. 일반적으로 두 변수 간의 선형관계는 한 변수가 또 다른 한 변수와 연관되어 같이 변화하는 정도를 나타내는 공분산의 크기에 따라 결정된다. 그러나 공분산의 크기는 두 변수를 측정한 척도크기, 즉 측정단위에 따라 크게 달라진다. 예를 들어, 키와 몸무게를 공분산을 구하고자 하는 경우, 키의 단위를 m와 cm 중에 어느 것을 단위로 하는가에 따라서 공분산이 달라지게 된다. 키의 단위를 cm로 하는 경우의 공분산이 m로 하는 경우의 공분산보다  100배 더 크다. 이러한 이유로 인하여 공분산값만으로 두 변수 간의 연관성에 대하여 단정적으로 평가하는 것은 쉽지 않다. 따라서 두 변수 간의 선형관계를 측정하되 측정단위에 따라 그 값이 변하지 않는 절대적인 기준이 될 수 있는 단위가 필요하다. 이러한 절대적인 기준의 단위로는 표준편차가 있다. 즉, 공분산을 구할 때 사용하는 편차를 해당 변수의 표준편차로 나누어 줌으로써 편차를 표준편차 단위로 바꿀 수 있다. 이렇게 편차를 표준편차 단위로 바꾸어 사용함으로써 측정단위에 따른 편차의 크기 변화를 제거할 수 있다. 또한 표준화된 편차값들을 사용하여 공분산을 구함으로써 측정단위에 따라 크기가 변하지 않는 표준화된 공분산을 구할 수 있다. 이러한 과정을 거쳐 구한 표준화된 공분산을 다른 말로 상관계수라 한다. 두 변수의 평균으로부터의 차이, 즉 편차를 서로 곱한 값들의 평균인 공분산은 변수를 측정한 척도의 단위에 따라 그 값이 달라지기 때문에, 공분산만으로 두 변수 간의 선형관계를 정확하게 파악하기 어렵다. 따라서 측정단위에 따라 그 크기가 바뀌지 않는 공분산을 구하면 그 값이 바로 상관계수가 된다. 변수의 측정단위에 따라 그 크기가 변하지 않는 공분산은 공분산 계산에 사용되는 두 변수의 편차를 해당 변수의 표준편차로 나누어 줌으로써, 즉 각 변수의 편차를 표준화한 편차값들을 사용하여 구할 수 있다. 다시 말해서, 공분산을 구할 때 사용하는 각 변수의 편차를 그 변수의 표준편차로 나누어 편차를 표준편차 단위로 바꾼 다음 이들을 서로 곱한 값들의 평균을 공분산으로 한다. 이렇게 함으로써 측정단위에 따라 변하지 않는 두 변수 간의 선형관계를 파악할 수 있는 ㅍ준하된 공분산을 도출할 수 있는데, 이 값이 바로 상관계수이다. 이처럼 두 변수의 표준화된 편차곱의 평균으로 구한 상관계수를 피어슨의 적률상관계수 혹은 간단히 피어슨 상관계수라 한다. 공분산이 클수록 표준화된 공분산인 상관계수도 커지고, 반대로 공분산이 작을수록 상관계수도 작아진다. 상관계수의 부호는 당연히 공분산의 부호와 같다. 그러나 일반적인 공분산과 달리 표준화된 공분산, 즉 상관계수의 크기는 -1에서 +1사이의 값을 갖게 된다. 기본적으로 두 변수 간의 선형관계의 정도를 나타내는 상관계수는 두 변수 간의 선형관계 정도와 방향을 수학적인 수치로 정량화하여 표시하는 지수로서 -1에서 +1 사이의 값을 갖는다. 상관계수가 +1 혹은 -1일 경우에 두 변수는 완전한 양과 음의 상관관계를 갖는 반면에, 상관계수가 0에 가까울 때 두 변수는 선형이 아닌 다른 관계이거나 서로 독립적이어서 무관한 관계에 있다고 볼 수 있다. 또한 상관계수는 계수르 구하는 데 사용된 어느 한 변수 또는 두 변수의 값에 일정하게 0이 아닌 상수를 더하거나 양의 상수를 곱하여도 그 값이 변하지 않는다는 특징이 있다. 그러나 어느 한 변수에만 음의 상수를 곱하면 상관계수는 크기를 일정하나 방향, 즉 부호가 바뀐다.